だから過程(=証明)が大事なんだってば

僕の定期巡回先である, 数学者くるるさんのエントリ大学での数学経由で知ったのですが, 数学における証明の重要性について興味を惹く議論がなされています.

• くるるの数学ノート - 大学での数学
• Mugi2.0.1 - ぼくの中にまだ残っている「数学」
• 304 Not Modified: 数学はプロセスが９割
• 煩悩是道場 - 数学はプロセスが９割の学問か
• 痛いニュース(ﾉ∀`):答は合ってるのに×。先生どうして？ ｢数学で大切なのはプロセスだ。答なんてただの数字でしかない｣
• suVeneのあれ: 結果が全てです
• 数学はプロセスが９割: bolog
• 生存報告実施中

もともとは痛いニュース(ﾉ∀`):答は合ってるのに×。先生どうして？ ｢数学で大切なのはプロセスだ。答なんてただの数字でしかない｣がコトの始まりなのかと思うが, このスレッドで笑ったのが

222 名前：パトリオット[] 投稿日：2006/10/12(木) 00:43:11 ID:uCdrxwb70
>>217
私はこの問題を解決する驚くべき証明に至ったが余白が少なすぎる・・・って書けよｗ

僕が採点者なら○にするな, この解答. この話を知っているだけで数学が好きなのは分かるし, 過程を省略しても正しいのだろうと推察できるから. というか, そんな理屈じゃなくて粋な解答なのでグッド. 何が自明かなんてのはレベルによって違うので他の問題に対する解答(の仕方)を見て決めればよいんじゃないかと思う. ガロアは結局志望校には入れなかったそうだが, それはひとえに彼にとっては自明すぎる過程をつらつらと綴るのは耐えられなかったためであろう. フェルマーも証明はあまり残していないらしいが, 天才というのはその思考の痕跡を残すことを嫌うものなのかね.

数学においてプロセスが重要かどうか, を議論するに当たって多くの人が指摘しているように論者の立ち位置によって大分変わるようだ. というのも数学が苦手な人は数学を「巨大な計算の固まり」と思っているから, プロセス=大量の計算, と思いがち. もちろんたくさんの計算をして試行錯誤を繰り返して正しい直観が働くようになっていくのだから, 計算は大切だし数学を学ぶ上で本質的だと思う. 理系でも数学科以外での数学とは単なるツールであるから定理(つまり公式)を覚えて計算が出来ればよい, という認識の人も多いだろう.

では, 数学者はどう考えているかというと, くるるの数学ノート - 大学での数学では

私たちが本当に教えたいのは、「シンプルな発想の転換と論理で、難しかったはずの問題がすっと解けるようになる」ということなんですよ。そういう意味での数学の強力さというか。

集合論が専門のくるるさんらしい言い回しだと思うけど, これまで難しいと考えられていた問題の持つシンプルな構造を見抜く力をつける, ってことが数学教育の最も大事なところだと僕は思う. 証明というのは多くの場合, 過去の偉大な数学者の思考の追体験になるわけだ. もちろん, 本当に苦労したところとか, そういった痕跡は消されてしまっているんだけど.

ショーペンハウエルの『読書について』という本の中で「読書とは他人の頭で考えることである」という一節があったと思う. 僕が思うにこれには二つの意味があって, 「本ばっかり読んでないで自分の頭で考えなさい」という意味と, 「過去の偉人の思考方法を真似るための最良の方法である」という意味があるように思う. 証明というのは思考の痕跡であり, 正しい, 正しくないとは別の軸で「どう考えたか」がわかるものである. ガウスは整数論の相互剰余に関して「ガウスの補助定理」なるものを証明しているが, 全く分野の異なる6種類の方法で証明しているそうだ.

謙虚な先生であれば生徒の解答に自分の想像しなかったような「エレガントな解答」を期待しているかも知れない. 逆に解答へ至る過程がなければ, その生徒が本当に正しい答えであると確信しているのかわかりようがない. 先生の用意した答えが間違っていることだってあるし. もっと広い意味で証明の有用性(数学に関わる上で数学の有用性を論じることほど嫌なことはないのだが)を見いだすならば, 他人を説得しようと思うならば, 自分の正しさを証明する以外にはなく, それ以外の方法, 例えば絵画, 音楽, 文学などのアートであるとか, 恐喝・恫喝の類でも説得(?)できることもあるだろうが, 良い方法なのだろうか?

数学における解答へ至る過程, それが証明であろうと計算であろうと(計算も証明の一形態だが), それ自体が正しいかどうかは非常に重要であって, それはなぜかと云えば, 形を変えた同種類の問題(何も学校の試験とは限らない)を与えられた時にそれに正しく解答できる確率が格段に高くなるだろうから. 例えば中学で習う連立一次方程式. これは経済学にとって本質的であるが, それは連立一次方程式が経済の持つ構造を模していると喝破する能力が先人にあったからこそ応用できたわけで, 連立一次方程式の解をただ求めることが出来るだけではダメなんだと思う. (連立一次方程式を「知って」いても, 経済を需要という式と供給という式に分けることが出来ない人が世の中どんなに多いことか...)

過程とは解の持つ解釈であるから, それは一つではなく色んな角度から眺めることが出来る. 問題によっては幾何学的に捉えると分かり易かったり, 代数的に捉えると良かったりする. だから過程が大事どころではなく, いろんな過程を知ることが大事とさえ言える.

話が逸れるが, 気になったことがあるのでそれについても触れたい.

＞数学で大切なのはプロセス
というのはその通りなんだけど、
このテストにおいて事前にその点をキチンと説明してあったのかどうかは
とても重要で。
恐らくそんな説明はないだろうからこの対応はダメダメな気がするけど。

数学はプロセスが９割: bolog

156 名前：ダンス特訓中[sage] 投稿日：2006/10/12(木) 00:29:49 ID:PV3RVGBk0
授業でプロセスが大事だって事を教えてたかどうかが問題だな

痛いニュース(ﾉ∀`)

これらに見られるように, 教師が事前に「過程が大事だよ」と教えていなければ「答えが合っているだけじゃダメ」というのはまずい, という意見がある. でもそうなのかな. 数学を学ぶ上で過程が大事なのってわざわざ明示的に教わらないとわからないものなのか. それはともかくとしても, 試験ー採点という一連の流れは契約の一種と見なせるだろうけど, 起こりえる全ての事象について契約書に言及することは不可能なんで, 事前に云わなければ全部ダメ, ってことにはならないだろう. だから, 問題はこの「過程が大事だよ」ということが事前に知らせておくべき重要事項であるかどうかの判断にかかってくる. 僕はこれは「常識」の範囲内にあると思うから別に知らせる必要はないと思うし, 答えのみしか書かれていない場合, または答えは合っているけど, その過程が間違っている場合, いずれにしてもその生徒が「正しく考えた」証拠にならないので, どう理屈をこねてもダメだと思う.

なんだかとりとめのない駄文・長文になってしまったがここまで読んで下さって感謝.